[NOIP2003 普及组] 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，$1,2,\ldots ,n$（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 $n$。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 $n$，计算并输出由操作数序列 $1,2,\ldots,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 $n$（$1 \leq n \leq 18$）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

5

提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

解答1（递归求解，超时）

#include<iostream>

using namespace std;

int n;

//栈外总数，栈内总数 
long long count(int num,int stack_num)
{
	if(stack_num < 0 || num < 0) return 0;  
	if(num == 0) return 1;
	return count(num-1,stack_num+1) + count(num,stack_num-1);
}

int main()
{
	cin>>n;
	cout<<count(n,0);
	return 0;
}

解答2（备忘录方法）

#include<iostream>

using namespace std;

int n;
long long memo[20][20];

//栈外总数，栈内总数 
long long count(int num,int stack_num)
{	
	if(memo[num][stack_num]) return memo[num][stack_num];
	 
	if(num == 0) return 1;
	if(stack_num > 0) memo[num][stack_num] += count(num,stack_num-1);
	memo[num][stack_num] += count(num-1,stack_num+1) ;
	return memo[num][stack_num];
}

int main()
{
	cin>>n;
	cout<<count(n,0);
	return 0;
}