一道关于双曲函数与三角函数的复变函数题

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判断\overline{\cos z} = \cos{\overline{z}}是否成立
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{\cos z} = \cos x \cos iy - \sin x \sin iy
=\cos x\cosh y - i \sin x \sinh y
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\overline{\cos z}=\cos x\cosh y + i \sin x \sinh y
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\cos {\overline z} =\cos x \cos iy + \sin x \sin iy
=\cos x\cosh y + i \sin x \sinh y
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所以\overline{\cos z} = \cos{\overline{z}}成立
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所用到的公式为双曲函数与三角函数的关系
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\sinh z = \frac{e^z-e^{-z}}{2}，\
\cosh z = \frac{e^z+e^{-z}}{2}，\
\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}，\
\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}，\
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\sinh z = -i\sin iz，\
\cosh z = \cos iz
$$