一道有趣的无穷级数题

$$
\frac { 1+\frac { { \pi }^{ 4 } } { 4!{ 2 }^{ 4 } }+\frac { { \pi }^{ 8 } } { 8!{ 2 }^{ 8 } }+\frac { { \pi }^{12} } { 12!{2}^{12} }+\cdot \cdot \cdot } {\frac {1} {8}+\frac { { \pi }^{4} } { 6!{2}^{6} }+\frac { { \pi }^{8} } {10!{2}^{10} }+\frac { { \pi }^{12} } {14!{2}^{14} }+ \cdot \cdot \cdot }=
$$

解： 记所求分式的分子分母分别为S，T，

将$cos\frac{\pi}{2}$展开成无穷级数
$$
\cos { \frac { \pi } {2} }=\sum ^{\infty }_{n=0} { \frac { \left ( {-1} \right )^{n} } { \left ( {2n} \right )!} }\left ( {\frac {\pi } {2} } \right )^{2n}
$$
$$
=(1+\frac { {\pi }^{4} } {4!{2}^{4} }+\frac { { \pi }^{8} } {8!{2}^{8} }+\frac { {\pi }^{12} } {12!{2}^{12} }+\cdot \cdot \cdot)-(\frac { { \pi }^{2} } {2!{2}^{2} }+\frac { { \pi }^{6} } {6!{2}^{6} }+\frac { { \pi }^{10} } {10!{2}^{10} }+\frac { { \pi }^{14} } {14!{2}^{14} }+\cdot \cdot \cdot)
$$
$$
=S-{\pi}^{2}T
$$
即$0=S-{\pi}^{2}T$，所以$\frac{S}{T}={\pi}^{2}$.

巧妙的利用泰勒展开式找出分子分母的联系